대수 예제

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{x - 5}{x - 3}$ 를 뺍니다.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

단계 2

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x - 1}{x + 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x - 5}{x - 3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 2) (x - 3)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{x - 1}{x + 2}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

단계 2.3.2

$\frac{x - 5}{x - 3}$ 에 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

단계 2.3.3

$(x - 3) (x + 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.2.1.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.2.2

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.4

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 5) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.6.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.6.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.6.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.6.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.6.1.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.6.2

$- 2 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.7

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.8

$- 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.9

$- 4 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.5.10

$3$ 를 $10$ 에 더합니다.

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.7

$13$ 을 $- 1 (- 13)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.8

$- (x) - 1 (- 13)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.9

$- (x - 13)$ 을 $- 1 (x - 13)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $13$ 를 더합니다.

$x = 13$

단계 5

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 6

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 13, - 2, 3$

단계 9

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 9.2.2

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 9.2.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 9.2.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 9.2.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 9.2.4

$(x + 2) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 3$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

단계 11.1.3

좌변 $2.5$ 가 우변 $1.\overline{285714}$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.2

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

단계 11.2.3

좌변 $- 0.5$ 이 우변 $1.\overline{6}$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.3

$3 < x < 13$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$3 < x < 13$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

단계 11.3.3

좌변 $0.7$ 가 우변 $0.6$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.4

$x > 13$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$x > 13$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 16$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $16$ 로 치환합니다.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

단계 11.4.3

좌변 $0.8\overline{3}$ 이 우변 $0.\overline{846153}$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 3$ 거짓

$3 < x < 13$ 참

$x > 13$ 거짓

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 3$ 거짓

$3 < x < 13$ 참

$x > 13$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 2$ 또는 $3 < x < 13$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

단계 14