대수 예제

$x \geq \frac{8}{2 + x}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{8}{2 + x}$ 를 뺍니다.

$x - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

단계 2

$x - \frac{8}{2 + x}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 + x}{2 + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 + x)}{2 + x} - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (2 + x) - 8}{2 + x} \geq 0$

단계 2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 2 + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

단계 2.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

단계 2.3.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot x + x^{2} - 8}{2 + x} \geq 0$

단계 2.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{2 + x} \geq 0$

단계 2.3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 2, 4$

단계 2.3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x} \geq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$2 + x = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 6

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 2$

$x = - 4$

$x = - 2$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 2, - 4, - 2$

단계 9

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 + x = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$- 6 \geq \frac{8}{2 - 6}$

단계 11.1.3

좌변 $- 6$ 이 우변 $- 2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.2

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$- 3 \geq \frac{8}{2 - 3}$

단계 11.2.3

좌변 $- 3$ 가 우변 $- 8$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.3

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$0 \geq \frac{8}{2 + 0}$

단계 11.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $4$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$4 \geq \frac{8}{2 + 4}$

단계 11.4.3

좌변 $4$ 가 우변 $1.\overline{3}$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 \leq x < - 2$ 또는 $x \geq 2$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[- 4, - 2) \cup [2, \infty)$

단계 14