대수 예제

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

부등식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

단계 1.2

부등식 양변에 $5$ 를 더합니다.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

단계 2

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.2

$- x$ 와 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.4

$7 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.6

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.4.6.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ 이고 합이 $b = 9$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.4.6.1.1

$9 x$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.6.1.2

$9$ 를 $- 1$ + $10$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.6.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.4.6.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.6.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.4.6.3

최대공약수 $- x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

단계 2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - 1) (x - 10)$ 를 전개합니다.

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단계 2.7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.2.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.2.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.2.1.2

$- 10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.2.1.4

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.2.2

$10 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.4

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.5

$9 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.6

$10$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.7

$- x^{2} + 14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.8

$- x^{2} + 14 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.7.8.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.8.2

$14 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

단계 2.7.8.3

$x (- x) + x \cdot 14$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.8

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

단계 2.9

$14$ 을 $- 1 (- 14)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

단계 2.10

$- (x) - 1 (- 14)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

단계 2.11

$- (x - 14)$ 을 $- 1 (x - 14)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

단계 2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4

$- x = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$- x = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 4.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{- 1}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 5

방정식의 양변에 $14$ 를 더합니다.

$x = 14$

단계 6

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 14, 2$

단계 9

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

단계 11.1.3

좌변 $1$ 이 우변 $- 7$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.2

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

단계 11.2.3

좌변 $- 17$ 이 우변 $- 4$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.3

$2 < x < 14$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$2 < x < 14$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

단계 11.3.3

좌변 $19$ 이 우변 $- 1$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.4

$x > 14$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$x > 14$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 16$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $16$ 로 치환합니다.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

단계 11.4.3

좌변 $8.\overline{714285}$ 이 우변 $11$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$2 < x < 14$ 거짓

$x > 14$ 참

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$2 < x < 14$ 거짓

$x > 14$ 참

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 \leq x < 2$ 또는 $x \geq 14$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

단계 14