대수 예제

$\frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

단계 1.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 1.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

단계 1.1.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

단계 1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 3^{2}}$

단계 1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 3) {(x + 3)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4.2

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}$

단계 4.3

$x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}$

단계 4.4

$x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}$

단계 4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}$

단계 4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 4) (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 4) (x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 3) + 4 (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 4 (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.2.1.3

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 12 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.2.2

$- 3 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + x - 12 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + x - 12 - x - 1 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x - 12 - x - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.5

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 0 - 12 - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.6

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 12 - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

단계 6.7

$- 12$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 15}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$