대수 예제

$y = 4 x^{2} + 3$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 4 y^{2} + 3$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$4 y^{2} + 3 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 y^{2} + 3 = x$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$4 y^{2} = x - 3$

단계 2.3

$4 y^{2} = x - 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$4 y^{2} = x - 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

단계 2.3.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}$

단계 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 3}{4}}$

단계 2.5.2

$\frac{x - 3}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.5.2.1

$x - 3$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{4}}$

단계 2.5.2.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 2.5.2.3

분수 $\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)}$

단계 2.5.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x - 3}$

단계 2.5.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{x - 3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 가 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 4.2

$f (x) = 4 x^{2} + 3$ 의 범위를 구합니다.

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단계 4.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[3, \infty)$

단계 4.3

$\frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x - 3}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x - 3 \geq 0$

단계 4.3.2

부등식 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x \geq 3$

단계 4.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[3, \infty)$

단계 4.4

$f (x) = 4 x^{2} + 3$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 의 정의역이 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 의 치역이 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 은 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

단계 5