대수 예제

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.1

부등식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

단계 1.2

부등식 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

단계 2

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.2

$- x$ 와 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.4.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.4.3

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.4.4

$3 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

단계 2.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$7 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

단계 2.7.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

단계 2.7.3

$- x^{2} + 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

단계 2.7.4

$- x^{2} + 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.7.4.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

단계 2.7.4.2

$8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

단계 2.7.4.3

$x (- x) + x \cdot 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

단계 2.8

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

단계 2.9

$8$ 을 $- 1 (- 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

단계 2.10

$- (x) - 1 (- 8)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

단계 2.11

$- (x - 8)$ 을 $- 1 (x - 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

단계 2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 4

$- x = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$- x = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 4.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{- 1}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 5

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 6

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 8, 4$

단계 9

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 4 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

단계 11.1.3

좌변 $0.\overline{3}$ 이 우변 $- 3$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.2

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

단계 11.2.3

좌변 $- 5$ 이 우변 $1$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.3

$4 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$4 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

단계 11.3.3

좌변 $11$ 이 우변 $5$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.4

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

단계 11.4.3

좌변 $5.\overline{6}$ 이 우변 $9$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$4 < x < 8$ 거짓

$x > 8$ 참

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$4 < x < 8$ 거짓

$x > 8$ 참

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 \leq x < 4$ 또는 $x \geq 8$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

단계 14