대수 예제

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$3 e^{- 4 y + 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

단계 2.2

$3 e^{- 4 y + 1} = x$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 e^{- 4 y + 1} = x$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

단계 2.2.2.1.2

$e^{- 4 y + 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

단계 2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

단계 2.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 4 y + 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 4 y + 1})$ 을 전개합니다.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

단계 2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

단계 2.4.3

$- 4 y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

단계 2.5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

단계 2.6

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

단계 2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

단계 2.6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

단계 2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

단계 2.6.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ 가 $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

단계 4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

단계 4.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

단계 4.2.4.1.2

$e^{- 4 x + 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

단계 4.2.4.2

로그 공식을 이용해 지수에서 $- 4 x + 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

단계 4.2.4.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

단계 4.2.4.4

$- 4 x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

단계 4.2.4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

단계 4.2.4.6

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

단계 4.2.4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

단계 4.2.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$4 x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

단계 4.2.5.1.2

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

단계 4.2.5.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

단계 4.2.5.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ 값을 계산합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.1

$\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ 을 $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.1.2

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ 을 간단히 합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.1.4

$\frac{x}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.3

$- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.3.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ 을 간단히 합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

단계 4.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

단계 4.3.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.1

$\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.2.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.2.2

간단히 합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.3.1

${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.3.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.5.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

단계 4.3.3.5.3.2

지수값을 계산합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

단계 4.3.4

$\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

단계 4.3.4.2

$\ln (\frac{x}{3})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

단계 4.3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

단계 4.3.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

단계 4.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ 은 $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$