대수 예제

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

단계 1

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식에 $y - 1$ 을 곱합니다.

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$(y - 1) (x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

단계 3.2.1.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - x = y + 1$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y x - x - y = 1$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y x - y = 1 + x$

단계 3.4.3

$y x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - y = 1 + x$

단계 3.4.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

단계 3.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 1) = 1 + x$

단계 3.4.4

$y (x - 1) = 1 + x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$y (x - 1) = 1 + x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ 가 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

단계 5.2.3

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

단계 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

단계 5.2.4.2

조합합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

단계 5.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.6

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.6.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.7.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.7.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.7.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.2.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.8.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.8.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

단계 5.2.8.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

단계 5.2.8.5

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

단계 5.2.8.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

단계 5.2.8.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.9.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

단계 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

단계 5.3.3.2

조합합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

단계 5.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.5

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.5.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.5.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.6.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.6.3

$x + x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.6.4

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

단계 5.3.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

단계 5.3.7.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.3.7.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

단계 5.3.7.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

단계 5.3.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

단계 5.3.7.6

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

단계 5.3.7.7

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.3.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.3.8.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ 은 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$