대수 예제

${(3 p + 4 q)}^{3}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3 p)}^{3 - k} \cdot {(4 q)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3 p)}^{3 - 0} \cdot {(4 q)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3 p)}^{3 - 1} \cdot {(4 q)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3 p)}^{3 - 2} \cdot {(4 q)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3 p)}^{3 - 3} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(3 p)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.2

$3 p$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} p^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 p^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.4

$4 q$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 p^{3} \cdot (4^{0} q^{0}) + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$27 \cdot 4^{0} p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$27 \cdot 1 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.7

$27$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$27 p^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.9

$27$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.10

$3 p$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 p^{3} + 3 \cdot (3^{2} p^{2}) \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.11

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

$3^{2}$ 를 옮깁니다.

$27 p^{3} + 3^{2} \cdot 3 \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.11.2

$3^{2}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$27 p^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$27 p^{3} + 3^{2 + 1} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.11.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.12

$3^{3} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot p^{2} \cdot (4 q) + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.13

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.14

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 p^{3} + 27 \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.15

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 3 \cdot (3 p) \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.17

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 p \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.18

$4 q$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 p \cdot (4^{2} q^{2}) + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.19

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 \cdot 4^{2} p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.20

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 \cdot 16 p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.21

$9$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.22

${(3 p)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.23

$3 p$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 3^{0} p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.24

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.25

$p^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.26

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 \cdot {(4 q)}^{3}$

단계 4.27

${(4 q)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + {(4 q)}^{3}$

단계 4.28

$4 q$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 4^{3} q^{3}$

단계 4.29

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 64 q^{3}$