대수 예제

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y - 36 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $36$ 를 더합니다.

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$

단계 1.2

$9 x^{2} - 36 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 18}{9}$

단계 1.2.3.2.2

$- 18$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 2$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 36$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

단계 1.2.4.2.1.3

$1296$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 36$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 36$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$e = - 36$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

단계 1.3

$9 x^{2} - 36 x$ 를 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} + 24 y = 36$

단계 1.4

양변에 $36$ 을 더하여 $- 36$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 24 y = 36 + 36$

단계 1.5

$- 4 y^{2} + 24 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 4$

$b = 24$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{24}{2 \cdot - 4}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (- 4)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{12}{- 4}$

단계 1.5.3.2.2

$12$ 및 $- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 (3)}{- 4}$

단계 1.5.3.2.2.2

$\frac{3}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 3$

단계 1.5.3.2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$d = - 3$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot - 4}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$24$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

단계 1.5.4.2.1.3

$576$ 을 $- 16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 36$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 36$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 를 $36$ 에 더합니다.

$e = 36$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ 에 대입합니다.

$- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$

단계 1.6

$- 4 y^{2} + 24 y$ 를 $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

단계 1.7

양변에 $36$ 을 더하여 $36$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

단계 1.8

$36 + 36 - 36$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$36$ 를 $36$ 에 더합니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 72 - 36$

단계 1.8.2

$72$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36$

단계 1.9

각 항을 $36$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

단계 4

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

단계 5

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

단계 5.2

$\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

단계 5.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

단계 5.2.1.3

$\frac{3}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

단계 5.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

단계 5.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

단계 5.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 + 3$

단계 5.2.1.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{2} - 3 + 3$

단계 5.2.2

$\frac{3 x}{2} - 3 + 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = \frac{3 x}{2} + 0$

단계 5.2.2.2

$\frac{3 x}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{3 x}{2}$

단계 6

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

단계 6.2

$- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

단계 6.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

단계 6.2.1.3

$x$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

단계 6.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.4.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 + 3$

단계 6.2.1.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

단계 6.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

단계 6.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 + 3$

단계 6.2.1.5

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 + 3$

단계 6.2.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 + 3$

단계 6.2.2

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

단계 7

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

단계 8

점근선은 $y = \frac{3 x}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + 6$ 입니다.

점근선: $y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

단계 9