대수 예제

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 9 x + 4} \div \frac{2 x^{2} + 14 x + 24}{4 x + 4}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ 이고 합이 $b = - 9$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.1.1

$- 9 x$ 에서 $- 9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 9 (x) + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 3.1.2

$- 9$ 를 $- 1$ + $- 8$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 3.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 4

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 5

$4 x + 4$ 및 $2 x^{2} + 14 x + 24$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x) + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 5.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x) + 2 \cdot 2}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 5.3

$2 (2 x) + 2 (2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

단계 5.4

공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2}) + 14 x + 24}$

단계 5.4.2

$14 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2}) + 2 (7 x) + 24}$

단계 5.4.3

$2 (x^{2}) + 2 (7 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x) + 24}$

단계 5.4.4

$24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot 12}$

단계 5.4.5

$2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x + 12)}$

단계 5.4.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x + 12)}$

단계 5.4.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 2}{x^{2} + 7 x + 12}$

단계 6

$2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x) + 2}{x^{2} + 7 x + 12}$

단계 6.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2} + 7 x + 12}$

단계 6.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x^{2} + 7 x + 12}$

단계 7

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $7$ 입니다.

$3, 4$

단계 7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 3) (x + 4)}$

단계 8

$x + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

$(x + 3) (x + 4)$ 에서 $x + 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 4) (x + 3)}$

단계 8.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 4) (x + 3)}$

단계 8.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x + 3}$

단계 9

$\frac{1}{2 x - 1}$ 에 $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 3)}$

단계 10

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot 1}{(2 x - 1) (x + 3)}$

단계 11

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

단계 12

분수 $\frac{2 x + 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{2 x}{(2 x - 1) (x + 3)} + \frac{2}{(2 x - 1) (x + 3)}$