대수 예제

$x^{4} + 2 x^{2} - 3 = 0$

단계 1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3 = 0$

단계 2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

단계 3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 2 u - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

단계 4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 1) (x^{2} + 3) = 0$

단계 5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3) = 0$

단계 6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

단계 7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

단계 8

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 8.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 10

$x^{2} + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

$x^{2} + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 3 = 0$

단계 10.2

$x^{2} + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 3$

단계 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

단계 10.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 10.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

단계 10.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

단계 10.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{3}$

단계 10.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 10.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{3}$

단계 10.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{3}$

단계 10.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

단계 11

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$