대수 예제

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 = \frac{2 x}{x - 4}$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{2 x}{x - 4}$ 를 뺍니다.

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

단계 2

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{64}{x^{2} - 4^{2}} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 x}{x - 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + 1 = 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 4) (x - 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{2 x}{x - 4}$ 에 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + 1 = 0$

단계 2.3.2

$(x - 4) (x + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{64 - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1.1

$64 - 2 x (x + 4)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.1.1.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (32) - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.1.2

$- 2 x (x + 4)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (32) + 2 (- x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.1.3

$2 (32) + 2 (- x (x + 4))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (32 - x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (32 - x \cdot x - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (32 - (x \cdot x) - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (32 - x^{2} - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (32 - x^{2} - 4 x)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - 4 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.6

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.5.1.6.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ 이고 합이 $b = - 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.5.1.6.1.1

$- 4 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - 4 (x) + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.6.1.2

$- 4$ 를 $4$ + $- 8$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.6.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.5.1.6.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{2 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.6.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{2 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.1.6.3

최대공약수 $- x + 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{2 ((- x + 4) (x + 8))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

$\frac{2 (- x + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.2

$- x + 4$ 및 $x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x) + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.2.2

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.2.3

$- (x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.2.4

$- (x - 4)$ 을 $- 1 (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.2.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

단계 2.5.2.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot (- 1) (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

단계 2.5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

단계 2.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

단계 2.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 (x + 8) + x + 4}{x + 4} = 0$

단계 2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 8 + x + 4}{x + 4} = 0$

단계 2.8.2

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 16 + x + 4}{x + 4} = 0$

단계 2.8.3

$- 2 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- x - 16 + 4}{x + 4} = 0$

단계 2.8.4

$- 16$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- x - 12}{x + 4} = 0$

단계 2.9

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) - 12}{x + 4} = 0$

단계 2.10

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (12)}{x + 4} = 0$

단계 2.11

$- (x) - 1 (12)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 12)}{x + 4} = 0$

단계 2.12

$- (x + 12)$ 을 $- 1 (x + 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 12)}{x + 4} = 0$

단계 2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x + 12}{x + 4} = 0$

단계 3

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x + 12 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$x = - 12$