대수 예제

$2 x^{4} - x^{2} - 1 = 0$

단계 1

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1

$- u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

단계 2.1.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

단계 2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

단계 2.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

단계 2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

단계 2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

단계 2.3

최대공약수 $2 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

단계 4

$2 u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$2 u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u + 1 = 0$

단계 4.2

$2 u + 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 u = - 1$

단계 4.2.2

$2 u = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$2 u = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 4.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{- 1}{2}$

단계 4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{1}{2}$

단계 5

$u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$u = 1$

단계 6

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

단계 7

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

단계 8

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

단계 9

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

단계 9.2

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- \frac{1}{2}$ 을 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 9.2.1.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

단계 9.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

단계 9.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

단계 9.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

단계 9.2.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

단계 9.2.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

단계 9.2.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

단계 9.2.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 9.2.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 9.2.7.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 9.2.7.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 9.2.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 9.2.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 9.2.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 9.2.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.2.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 9.2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.2.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.2.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 9.2.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 9.2.8

$i$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 9.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 9.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 9.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 9.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 10

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = 1$

단계 11

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = 1$

단계 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 11.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 11.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 11.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 11.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 12

$2 x^{4} - x^{2} - 1 = 0$ 의 해는 $x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 1, - 1$ 입니다.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 1, - 1$