대수 예제

${(2 x + 3 y)}^{3}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{3 - k} \cdot {(3 y)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{3 - 0} \cdot {(3 y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{3 - 1} \cdot {(3 y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{3 - 2} \cdot {(3 y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{3 - 3} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(2 x)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{3} x^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 x^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.4

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 \cdot 3^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.7

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.9

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.10

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} + 3 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.12

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{3} + 12 \cdot 3 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.15

$12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 3 \cdot (2 x) \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.17

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 x \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.18

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 x \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.19

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 \cdot 3^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.20

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.21

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.22

${(2 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.23

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.24

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.25

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.26

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 \cdot {(3 y)}^{3}$

단계 4.27

${(3 y)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(3 y)}^{3}$

단계 4.28

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 3^{3} y^{3}$

단계 4.29

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$