대수 예제

$\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$

단계 1

로그의 정의를 이용하여 $\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$x^{- 3} = \frac{1}{125}$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{125}$

단계 2.2

첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분모를 곱합니다. 이 값을 첫 번째 분수의 분모와 두 번째 분수의 분모의 곱과 같게 합니다.

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot 1$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

단계 2.3.2

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} = 1 \cdot 125$

단계 2.3.3

$125$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} = 125$

단계 2.3.4

방정식의 양변에서 $125$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 125 = 0$

단계 2.3.5

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.3.5.1

$125$ 을 $5^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} - 5^{3} = 0$

단계 2.3.5.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

단계 2.3.5.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

단계 2.3.5.3.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

단계 2.3.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

단계 2.3.7

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.7.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.3.7.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.3.8

$x^{2} + 5 x + 25$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.8.1

$x^{2} + 5 x + 25$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

단계 2.3.8.2

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.8.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3.8.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 25$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.8.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.8.2.3.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.8.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.3

$25$ 에서 $100$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.4

$- 75$ 을 $- 1 (75)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.7

$75$ 을 $5^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.3.8.2.3.1.7.1

$75$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.7.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.8.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.3.8.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.3.9

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$