대수 예제

$x^{9} - x^{6} - x^{3} + 1$

단계 1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{9} - x^{6}) - x^{3} + 1$

단계 1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{6} (x^{3} - 1) - (x^{3} - 1)$

단계 2

최대공약수 $x^{3} - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x^{3} - 1) (x^{6} - 1)$

단계 3

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{6} - 1)$

단계 4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

단계 5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} - 1)$

단계 6

$x^{6}$ 을 ${(x^{2})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1)$

단계 7

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1^{3})$

단계 8

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

단계 9

인수분해합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

단계 9.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

단계 9.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}))$

단계 9.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

단계 10

지수를 묶습니다.

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단계 10.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

단계 10.2

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

단계 10.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

단계 10.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

단계 11

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

단계 12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

단계 13

인수분해합니다.

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단계 13.1

인수분해된 형태로 $x^{4} + x^{2} + 1$ 를 다시 씁니다.

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단계 13.1.1

중간항을 다시 씁니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

단계 13.1.2

항을 다시 배열합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

단계 13.1.3

완전제곱 법칙에 따라 처음 세 항을 인수분해합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

단계 13.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2} + 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

단계 13.1.5

간단히 합니다.

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단계 13.1.5.1

항을 다시 정렬합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

단계 13.1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

단계 13.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

단계 14

지수를 묶습니다.

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단계 14.1

$x^{2} + x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} (x^{2} + x + 1)) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

단계 14.2

$x^{2} + x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} {(x^{2} + x + 1)}^{1}) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

단계 14.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

단계 14.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$