대수 예제

${(3 x + y)}^{4}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3 x)}^{4 - k} \cdot {(y)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3 x)}^{4 - 0} \cdot {(y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3 x)}^{4 - 1} \cdot {(y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3 x)}^{4 - 2} \cdot {(y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3 x)}^{4 - 3} \cdot {(y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3 x)}^{4 - 4} \cdot {(y)}^{4}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(3 x)}^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(3 x)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 x)}^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.2

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{4} x^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.3

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 x^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.5

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.6

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{4} + 4 \cdot (3^{3} x^{3}) \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.7

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 x^{4} + 4 \cdot (27 x^{3}) \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.8

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.9

간단히 합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot y + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.10

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 \cdot (3^{2} x^{2}) \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 \cdot (9 x^{2}) \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.12

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (3 x) \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.14

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.15

${(3 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.16

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 3^{0} x^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.17

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.18

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + x^{0} \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.19

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 \cdot {(y)}^{4}$

단계 4.20

${(y)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}$