대수 예제

${(2 x - 3 y)}^{4}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{4 - k} \cdot {(- 3 y)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{4 - 0} \cdot {(- 3 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{4 - 1} \cdot {(- 3 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{4 - 2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{4 - 3} \cdot {(- 3 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 x)}^{4 - 4} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(2 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(2 x)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{4} x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.4

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} \cdot ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$16 \cdot {(- 3)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$16 \cdot 1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.7

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$16 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.9

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.10

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} + 4 \cdot (2^{3} x^{3}) \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.11

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$16 x^{4} + 4 \cdot (8 x^{3}) \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.12

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot (- 3 y) + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$16 x^{4} + 32 \cdot - 3 x^{3} y + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.15

$32$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.16

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 6 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.17

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 6 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.18

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 x^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.19

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 x^{2} \cdot ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.20

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 \cdot {(- 3)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.21

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.22

$24$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.23

간단히 합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (2 x) \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.24

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 x \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.25

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 x \cdot ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.26

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 \cdot {(- 3)}^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.27

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 \cdot - 27 x y^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.28

$8$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.29

${(2 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.30

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 2^{0} x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.31

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.32

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.33

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 1 \cdot {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.34

${(- 3 y)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + {(- 3 y)}^{4}$

단계 4.35

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + {(- 3)}^{4} y^{4}$

단계 4.36

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 81 y^{4}$