대수 예제

$x^{4} - 34 x^{2} + 225 = 0$

단계 1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2})}^{2} - 34 x^{2} + 225 = 0$

단계 2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 34 u + 225 = 0$

단계 3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 34 u + 225$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $225$ 이고 합은 $- 34$ 입니다.

$- 25, - 9$

단계 3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 25) (u - 9) = 0$

단계 4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 25) (x^{2} - 9) = 0$

단계 5

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

단계 6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 9) = 0$

단계 7

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

단계 8

인수분해합니다.

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단계 8.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x + 5) (x - 5) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 10

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 11

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 12

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 13

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 14

$(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 5, 5, - 3, 3$