대수 예제

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

항을 다시 묶습니다.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

단계 1.2

$6 x - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

단계 1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

단계 1.2.3

$2 (3 x) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

단계 1.3

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$3 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

단계 1.3.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

단계 1.3.3

$1$ 을 곱합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

단계 1.3.4

$x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

단계 1.3.5

$x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

단계 1.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 이고 합이 $b = - 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1.1

$- 4 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

단계 1.4.1.1.2

$- 4$ 를 $- 1$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

단계 1.4.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

단계 1.4.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

단계 1.4.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

단계 1.4.1.3

최대공약수 $3 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

단계 1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

단계 1.5

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ 에서 $3 x - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2 (3 x - 1)$ 에서 $3 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

단계 1.5.2

$x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ 에서 $3 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

단계 1.5.3

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ 에서 $3 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

단계 1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

단계 1.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

단계 1.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

단계 1.7.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

단계 1.8

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

단계 1.9

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

단계 1.10

항을 다시 정렬합니다.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

단계 1.11

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - x^{2} + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 1.11.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2$

단계 1.11.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

단계 1.11.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

단계 1.11.1.3.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

단계 1.11.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 - 1 + 2$

단계 1.11.1.3.5

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 2 + 2$

단계 1.11.1.3.6

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.11.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

단계 1.11.1.5

$x^{3} - x^{2} + 2$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

단계 1.11.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

단계 1.11.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 1.11.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 1.11.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

단계 1.11.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

단계 1.11.1.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

단계 1.11.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

단계 1.11.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} - 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

단계 1.11.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

단계 1.11.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

단계 1.11.1.5.12

피제수 $2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

단계 1.11.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

단계 1.11.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

단계 1.11.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

단계 1.11.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 2 x + 2$

단계 1.11.1.6

$x^{3} - x^{2} + 2$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

단계 1.11.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

단계 3

$3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 1 = 0$

단계 3.2

$3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x = 1$

단계 3.2.2

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 4

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 5

$x^{2} - 2 x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{2} - 2 x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

단계 5.2

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 2$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.3

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.4

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

단계 5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm i$

단계 5.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 1 + i, 1 - i$

단계 6

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

단계 7