대수 예제

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

단계 1

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

단계 2.1.2

$- x^{4} + x^{3}$ 에서 $- x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- x^{4}$ 에서 $- x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

단계 2.1.2.2

$x^{3}$ 에서 $- x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

단계 2.1.2.3

$- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ 에서 $- x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

단계 2.1.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ 이고 합이 $b = - 41$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

$- 41 x$ 에서 $- 41$ 를 인수분해합니다.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

단계 2.1.3.1.2

$- 41$ 를 $- 20$ + $- 21$ 로 다시 씁니다.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

단계 2.1.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

단계 2.1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

단계 2.1.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

단계 2.1.3.3

최대공약수 $21 x - 20$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

단계 2.1.4

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$- x^{3} (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

단계 2.1.4.2

$(21 x - 20) (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

단계 2.1.4.3

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

단계 2.1.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

인수분해된 형태로 $- x^{3} + 21 x - 20$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.1

유리근 정리르 이용하여 $- x^{3} + 21 x - 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

단계 2.1.5.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

단계 2.1.5.1.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

단계 2.1.5.1.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

단계 2.1.5.1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

단계 2.1.5.1.1.3.4

$21$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 21 - 20$

단계 2.1.5.1.1.3.5

$- 1$ 를 $21$ 에 더합니다.

$20 - 20$

단계 2.1.5.1.1.3.6

$20$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.5.1.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

단계 2.1.5.1.1.5

$- x^{3} + 21 x - 20$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

단계 2.1.5.1.1.5.2

피제수 $- x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

단계 2.1.5.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.1.5.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.1.5.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

단계 2.1.5.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

단계 2.1.5.1.1.5.7

피제수 $- x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

단계 2.1.5.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

단계 2.1.5.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{2} + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

단계 2.1.5.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

단계 2.1.5.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

단계 2.1.5.1.1.5.12

피제수 $20 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

단계 2.1.5.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

단계 2.1.5.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $20 x - 20$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

단계 2.1.5.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

단계 2.1.5.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} - x + 20$

단계 2.1.5.1.1.6

$- x^{3} + 21 x - 20$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

단계 2.1.5.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.2.1.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

단계 2.1.5.1.2.1.1.2

$- 1$ 를 $4$ + $- 5$ 로 다시 씁니다.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

단계 2.1.5.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

단계 2.1.5.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

단계 2.1.5.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

단계 2.1.5.1.2.1.3

최대공약수 $- x + 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

단계 2.1.5.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

단계 2.1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

단계 2.1.6

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

단계 2.1.6.2

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

단계 2.1.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

단계 2.1.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

단계 2.3

${(x - 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(x - 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 2.3.2

${(x - 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.3.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.4

$- x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 4 = 0$

단계 2.4.2

$- x + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 2.4.2.2

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.4.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 2.5

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 2.6

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, 4, - 5$

단계 3