대수 예제

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

단계 1

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.2

$x^{4} - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.2.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.2.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

단계 2.1.5

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.5.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 2.1.5.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2$

단계 2.1.5.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.1.5.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} + 1 - 2$

단계 2.1.5.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 1 - 2$

단계 2.1.5.3.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 - 2$

단계 2.1.5.3.4

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.5.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

단계 2.1.5.5

$x^{3} + x - 2$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.5.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

단계 2.1.5.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

단계 2.1.5.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.1.5.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.1.5.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

단계 2.1.5.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

단계 2.1.5.5.7

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

단계 2.1.5.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

단계 2.1.5.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} - x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

단계 2.1.5.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

단계 2.1.5.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

단계 2.1.5.5.12

피제수 $2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

단계 2.1.5.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

단계 2.1.5.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x - 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

단계 2.1.5.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

단계 2.1.5.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + x + 2$

단계 2.1.5.6

$x^{3} + x - 2$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.6

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.6.1

$x^{2} (x + 1) (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.6.2

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.8.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.8.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.8.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.9

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.10

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

단계 2.1.11

인수분해합니다.

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단계 2.1.11.1

인수분해된 형태로 $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.1.11.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.11.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

단계 2.1.11.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

단계 2.1.11.1.2

최대공약수 $x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

단계 2.1.11.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.5

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 2.5.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 2.5.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 2.5.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 2.5.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 2.6

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2, i, - i$

단계 3