대수 예제

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \div \frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 16}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$x^{2} - 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 3.1.2

$- 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 5} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 3.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 5$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 3.2

$5 x - x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.1

$5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot 5 - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 3.2.2

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot 5 + x (- x)}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 3.2.3

$x \cdot 5 + x (- x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 4, 3$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x - 4) (x + 3)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.1

$(x - 4) (x + 3)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x + 3) (x - 4)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x + 3) (x - 4)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x - 3}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x - 3}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{5 - x}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.3

$\frac{x - 3}{x - 5}$ 에 $\frac{5 - x}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (5 - x)}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.4

$5 - x$ 및 $x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5) - x)}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.4.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5) - (x))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.4.3

$- 1 (- 5) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5 + x))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{(x - 3) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.4.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.4.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 3) \cdot (- 1)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$x - 3$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 5.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

단계 6

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 6.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{x - 4}$

단계 6.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 6.3

다항식을 다시 씁니다.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{x - 4}$

단계 6.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

단계 7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{x - 3}{x - 4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

단계 7.1.2

${(x - 4)}^{2}$ 에서 $x - 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

단계 7.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

단계 7.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- (x - 3) \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 7.2

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$- (x - 3) \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- (x - 3) \cdot 1$

단계 7.3

$- (x - 3)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x - 3)$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- x - - 3$

단계 7.5

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- x + 3$