대수 예제

$x \geq \frac{2}{x + 1}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{2}{x + 1}$ 를 뺍니다.

$x - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

단계 2

$x - \frac{2}{x + 1}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (x + 1) - 2}{x + 1} \geq 0$

단계 2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

단계 2.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

단계 2.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 1} \geq 0$

단계 2.3.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.3.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 2.3.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1} \geq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 6

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, - 2, - 1$

단계 9

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 1 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$- 4 \geq \frac{2}{(- 4) + 1}$

단계 11.1.3

좌변 $- 4$ 이 우변 $- 0.\overline{6}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.2

$- 2 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$- 2 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1.5$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1.5$ 로 치환합니다.

$- 1.5 \geq \frac{2}{(- 1.5) + 1}$

단계 11.2.3

좌변 $- 1.5$ 가 우변 $- 4$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.3

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$0 \geq \frac{2}{(0) + 1}$

단계 11.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.4

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$4 \geq \frac{2}{(4) + 1}$

단계 11.4.3

좌변 $4$ 가 우변 $0.4$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$x > 1$ 참

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$x > 1$ 참

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 2 \leq x < - 1$ 또는 $x \geq 1$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 2 \leq x < - 1 or x \geq 1$

구간 표기:

$[- 2, - 1) \cup [1, \infty)$

단계 14