대수 예제

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

단계 2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 6

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $4$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$1, 4$

단계 6.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

단계 7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 8

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 10

$(x + 1) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, - 4$

단계 11

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

단계 12

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

단계 13

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 13.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

단계 13.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $4$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$1, 4$

단계 13.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

단계 13.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 13.2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 13.2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 13.2.4

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.4.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 13.2.4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 13.2.5

$(x + 1) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, - 4$

단계 13.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 14

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

단계 15

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 15.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 15.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

단계 15.1.3

좌변 $3.5$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.2

$- 4 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- 4 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 15.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

단계 15.2.3

좌변 $- 1.5$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 15.3

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 15.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

단계 15.3.3

좌변 $- 0.25$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 15.4

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 15.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

단계 15.4.3

좌변 $0.375$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

단계 16

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 < x < - 1$ 또는 $- 1 < x \leq 1$

단계 17

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

구간 표기:

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

단계 18