대수 예제

$x^{2} + x - 1 > 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} + x - 1 = 0$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 5

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 6

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 7

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 7.1

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.1.1

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 7.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{2} - 4 - 1 > 0$

단계 7.1.3

좌변 $11$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 7.2

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 7.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} + 0 - 1 > 0$

단계 7.2.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 7.3

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 7.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

${(3)}^{2} + 3 - 1 > 0$

단계 7.3.3

좌변 $11$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 7.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 참

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 거짓

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 참

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 참

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 거짓

$x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 참

단계 8

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 또는 $x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

단계 10