대수 예제

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 80 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $80$ 를 뺍니다.

$5 x^{2} - 4 y^{2} = - 80$

단계 1.2

오른쪽 항이 양수가 되도록 방정식의 각 항의 부호를 바꿉니다.

$- 5 x^{2} + 4 y^{2} = 80$

단계 1.3

각 항을 $80$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$- \frac{5 x^{2}}{80} + \frac{4 y^{2}}{80} = \frac{80}{80}$

단계 1.4

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

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단계 4.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 4.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$2 \sqrt{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\sqrt{20 + {(4)}^{2}}$

단계 4.3.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{20 + 16}$

단계 4.3.3.3

$20$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\sqrt{36}$

단계 4.3.3.4

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{6^{2}}$

단계 4.3.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$6$

단계 5

초점을 찾습니다.

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단계 5.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 5.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, 6)$

단계 5.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 5.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - 6)$

단계 5.5

쌍곡선의 초점은 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(0, 6), (0, - 6)$

단계 6