대수 예제

$\frac{- 2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 3, 1$

단계 1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{- 2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

단계 1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

단계 1.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 3^{2}}$

단계 1.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

단계 4.2

$\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

단계 4.3

$(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

단계 4.4

$(x + 3) (x - 3) (x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 (x + 3) + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 3 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 6.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 6 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 6.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 6.5

$- 2 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{x - 6 + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 6.6

$- 6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 7

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 3)}$