대수 예제

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

단계 1

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $\sin^{2} (x)$ 를 $1 - \cos^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

단계 2.2

$\sqrt{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

단계 3

다항식을 다시 정렬합니다.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

단계 4

$\cos (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

단계 5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6

이차함수의 근의 공식에 $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ , $c = \sqrt{2}$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.3

$4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.3.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.5

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.6

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.7

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

단계 7.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

단계 7.3

$\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

단계 7.4

$\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 7.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 7.5.2

$\sqrt{2}$ 를 옮깁니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

단계 7.5.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

단계 7.5.4

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

단계 7.5.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 7.5.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

단계 7.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.5.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 7.5.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.5.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.5.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.5.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.5.7.5

지수값을 계산합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

단계 7.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

단계 7.7

$\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

단계 8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 9

$u$ 에 $\cos (x)$ 를 대입합니다.

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 10

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 11

$\cos (x) = \sqrt{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.1

코사인의 치역은 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $\sqrt{2}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 12

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 12.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{3 π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 12.3

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

단계 12.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

단계 12.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 12.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

단계 12.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

단계 12.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.4.3.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

단계 12.4.3.2

$8 π$ 에서 $3 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 12.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 12.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 12.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 12.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 12.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 12.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$

단계 13

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$