대수 예제

$f (r) = 4 π r^{2}$

단계 1

$f (r) = 4 π r^{2}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 4 π r^{2}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$r = 4 π y^{2}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4 π y^{2} = r$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 π y^{2} = r$

단계 3.2

$4 π y^{2} = r$ 의 각 항을 $4 π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$4 π y^{2} = r$ 의 각 항을 $4 π$ 로 나눕니다.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

단계 3.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

단계 3.2.2.2

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

단계 3.2.2.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

단계 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{r}{4 π}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$r$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

단계 3.4.1.2

$4 π$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

단계 3.4.1.3

분수 $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

단계 3.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

단계 3.4.3

$\sqrt{\frac{r}{π}}$ 을 $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

단계 3.4.4

$\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ 에 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

단계 3.4.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ 에 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

단계 3.4.5.2

$\sqrt{π}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

단계 3.4.5.3

$\sqrt{π}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

단계 3.4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

단계 3.4.5.6

${\sqrt{π}}^{2}$ 을 $π$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{π}$ 을(를) $π^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

단계 3.4.5.6.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

단계 3.4.6

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

단계 3.4.7

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 가 $f (r) = 4 π r^{2}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (r) = 4 π r^{2}$ 및 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (r) = 4 π r^{2}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

단계 5.3

$\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{r π}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$r π \geq 0$

단계 5.3.2

$r π \geq 0$ 의 각 항을 $π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$r π \geq 0$ 의 각 항을 $π$ 로 나눕니다.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

단계 5.3.2.2.1.2

$r$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r \geq \frac{0}{π}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$0$ 을 $π$ 로 나눕니다.

$r \geq 0$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $r$ 값입니다.

$[0, \infty)$

단계 5.4

$f (r) = 4 π r^{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 의 정의역이 $f (r) = 4 π r^{2}$ 의 치역이고 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 의 치역이 $f (r) = 4 π r^{2}$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 은 $f (r) = 4 π r^{2}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

단계 6