대수 예제

$x^{4} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x$

단계 1

$x^{4} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x$

단계 1.2

$- 6 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2}) + 11 x^{2} - 6 x$

단계 1.3

$11 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2}) + x (11 x) - 6 x$

단계 1.4

$- 6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2}) + x (11 x) + x \cdot - 6$

단계 1.5

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{3} - 6 x^{2}) + x (11 x) + x \cdot - 6$

단계 1.6

$x (x^{3} - 6 x^{2}) + x (11 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x) + x \cdot - 6$

단계 1.7

$x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x) + x \cdot - 6$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6)$

단계 2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

단계 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

단계 2.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

단계 2.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

단계 2.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 - 6 \cdot 1 + 11 \cdot 1 - 6$

단계 2.3.4

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 6 + 11 \cdot 1 - 6$

단계 2.3.5

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 5 + 11 \cdot 1 - 6$

단계 2.3.6

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 + 11 - 6$

단계 2.3.7

$- 5$ 를 $11$ 에 더합니다.

$6 - 6$

단계 2.3.8

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}{x - 1}$

단계 2.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$6$

단계 2.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$

단계 2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

단계 2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$

단계 2.5.7

피제수 $- 5 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$

단계 2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

단계 2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 5 x^{2} + 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

단계 2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$

단계 2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

단계 2.5.12

피제수 $6 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

단계 2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

단계 2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x - 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

단계 2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

단계 2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 5 x + 6$

단계 2.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$x ((x - 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

단계 3

인수분해합니다.

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단계 3.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 3, - 2$

단계 3.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x ((x - 1) ((x - 3) (x - 2)))$

단계 3.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x ((x - 1) (x - 3) (x - 2))$

단계 3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x - 1) (x - 3) (x - 2)$