대수 예제

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} \leq 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- 3 x^{4}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

단계 2.1.2

$- 20 x^{3}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) + 7 x^{2} = 0$

단계 2.1.3

$7 x^{2}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

단계 2.1.4

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x)$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

단계 2.1.5

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} (- 7)$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ 이고 합이 $b = 20$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$20 x$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

단계 2.2.1.1.2

$20$ 를 $- 1$ + $21$ 로 다시 씁니다.

$- x^{2} (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

단계 2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

단계 2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

단계 2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- x^{2} (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

단계 2.2.1.3

최대공약수 $3 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- x^{2} ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

단계 2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

단계 4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

$3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 1 = 0$

단계 5.2

$3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x = 1$

단계 5.2.2

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 6

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 7

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{1}{3}, - 7$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 9.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$- 3 {(- 10)}^{4} - 20 {(- 10)}^{3} + 7 {(- 10)}^{2} \leq 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 9300$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 9.2

$- 7 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 7 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$- 3 {(- 4)}^{4} - 20 {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} \leq 0$

단계 9.2.3

좌변 $624$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 9.3

$0 < x < \frac{1}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$0 < x < \frac{1}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.17$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.17$ 로 치환합니다.

$- 3 {(0.17)}^{4} - 20 {(0.17)}^{3} + 7 {(0.17)}^{2} \leq 0$

단계 9.3.3

좌변 $0.10153437$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 9.4

$x > \frac{1}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.4.1

$x > \frac{1}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$- 3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 7 {(3)}^{2} \leq 0$

단계 9.4.3

좌변 $- 720$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < 0$ 거짓

$0 < x < \frac{1}{3}$ 거짓

$x > \frac{1}{3}$ 참

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < 0$ 거짓

$0 < x < \frac{1}{3}$ 거짓

$x > \frac{1}{3}$ 참

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 7$ 또는 $x \geq \frac{1}{3}$ 또는 $x = 0$

단계 11

구간을 조합합니다.

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

구간 표기:

$(- \infty, - 7] \cup [0, 0] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

단계 13