대수 예제

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

단계 1

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

단계 3.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

단계 3.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ 을(를) ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

단계 3.3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

단계 3.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

단계 3.3.2.1.2

간단히 합니다.

$1 - y^{3} = x^{3}$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- y^{3} = x^{3} - 1$

단계 3.4.2

$- y^{3} = x^{3} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- y^{3} = x^{3} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.2.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1.1

$\frac{x^{3}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{3}$ 을 $- x^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.3.1.3

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = - x^{3} + 1$

단계 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

단계 3.4.4

$\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.4.1.1

$- x^{3}$ 을 ${(- x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

단계 3.4.4.1.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

단계 3.4.4.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = - x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3

간단히 합니다.

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단계 3.4.4.3.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3.4

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

단계 3.4.4.3.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 가 $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.3.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.5.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.6

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.7

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.8.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.9

${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.10.1

$(1 - x) (1 + x + x^{2})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.10.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

단계 5.2.11

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

단계 5.2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.12.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

단계 5.2.12.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ 값을 계산합니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

단계 5.3.3

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

단계 5.3.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 입니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

단계 5.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

단계 5.3.5.2

$\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

단계 5.3.5.3

${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

단계 5.3.5.4

$(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 은 $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$