대수 예제

$x^{6} - 9 x^{4} - x^{2} + 9 = 0$

단계 1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{6} - 9 x^{4}) - x^{2} + 9 = 0$

단계 1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{4} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) = 0$

단계 2

최대공약수 $x^{2} - 9$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x^{2} - 9) (x^{4} - 1) = 0$

단계 3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

단계 4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x + 3) (x - 3) (x^{4} - 1) = 0$

단계 5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) (x - 3) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

단계 6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) (x - 3) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

단계 8

인수분해합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

단계 8.1.2

인수분해합니다.

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단계 8.1.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

단계 8.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 10

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 11

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 12

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 12.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 12.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 12.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 12.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 12.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 12.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 12.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 13

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 14

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 14.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 14.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 15

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3, i, - i, - 1, 1$