대수 예제

$\sin (x) < \frac{1}{2}$

단계 1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x < \arcsin (\frac{1}{2})$

단계 2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$x < \frac{π}{6}$

단계 3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{6}$

단계 4

$π - \frac{π}{6}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

단계 4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{6}$

단계 5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$

단계 7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

단계 8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 8.1

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\sin (2) < \frac{1}{2}$

단계 8.1.3

좌변 $0.90929742$ 이 우변 $0.5$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 8.2

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$\sin (5) < \frac{1}{2}$

단계 8.2.3

좌변 $- 0.95892427$ 이 우변 $0.5$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 8.3

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\sin (8) < \frac{1}{2}$

단계 8.3.3

좌변 $0.98935824$ 이 우변 $0.5$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 거짓

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 참

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 거짓

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 거짓

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 참

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 거짓

단계 9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $\frac{5 π}{6} + 2 π n < x < \frac{13 π}{6} + 2 π n$

단계 10