대수 예제

$y = x - \frac{1}{x}$

단계 1

식 $x - \frac{1}{x}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 0$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

조합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}$

단계 5.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x \cdot x - 1}{x}$

단계 5.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x - 1}{x}$

단계 5.1.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x}$

단계 5.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} - 1}{x}$

단계 5.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

단계 5.1.3.5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

단계 5.1.3.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

단계 5.1.4

간단히 합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

단계 5.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

단계 5.3

$(x + 1) (x - 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x}$

단계 5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x}$

단계 5.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.4

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x}$

단계 5.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x}$

단계 5.3.11

$- 1 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x}$

단계 5.3.12

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

단계 5.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 5.5

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

단계 5.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

단계 5.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

단계 5.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

단계 5.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

단계 5.10

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x - \frac{1}{x}$

단계 5.11

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 0$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x$

단계 7