대수 예제

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{2}{x - 1}$ 를 뺍니다.

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

단계 2

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{3 x - 5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(3 x - 5) (x - 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{x}{3 x - 5}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

단계 2.3.2

$\frac{2}{x - 1}$ 에 $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

단계 2.3.3

$(x - 1) (3 x - 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.6

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.7

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.8

$- x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.5.9

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.9.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 5, - 2$

단계 2.5.9.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 5

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 6

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$3 x = 5$

단계 7

$3 x = 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$3 x = 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

단계 7.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{5}{3}$

단계 8

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

단계 10

해를 하나로 합합니다.

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

단계 11

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

단계 11.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 11.2.2

$3 x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.2.2.1

$3 x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 5 = 0$

단계 11.2.2.2

$3 x - 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.2.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$3 x = 5$

단계 11.2.2.2.2

$3 x = 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.2.1

$3 x = 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

단계 11.2.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

단계 11.2.2.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{5}{3}$

단계 11.2.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 11.2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 11.2.4

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{5}{3}, 1$

단계 11.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

단계 12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

단계 13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 13.1

$x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

단계 13.1.3

좌변 $0$ 이 우변 $- 2$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.2

$1 < x < \frac{5}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$1 < x < \frac{5}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.33$

단계 13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.33$ 로 치환합니다.

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

단계 13.2.3

좌변 $- 1.\overline{3168}$ 이 우변 $6.\overline{06}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 13.3

$\frac{5}{3} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$\frac{5}{3} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.83$

단계 13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.83$ 로 치환합니다.

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

단계 13.3.3

좌변 $3.73469387$ 이 우변 $2.40963855$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.4

$2 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$2 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 13.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

단계 13.4.3

좌변 $0.\overline{571428}$ 이 우변 $0.\overline{6}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 13.5

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 13.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

단계 13.5.3

좌변 $0.42105263$ 이 우변 $0.\overline{285714}$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 1$ 거짓

$1 < x < \frac{5}{3}$ 참

$\frac{5}{3} < x < 2$ 거짓

$2 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

$x < 1$ 거짓

$1 < x < \frac{5}{3}$ 참

$\frac{5}{3} < x < 2$ 거짓

$2 < x < 5$ 참

$x > 5$ 거짓

단계 14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$1 < x < \frac{5}{3}$ 또는 $2 \leq x \leq 5$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

구간 표기:

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

단계 16