대수 예제

$x^{6} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{6} - 2 x^{4}) - 4 x^{2} + 8 = 0$

단계 1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{4} (x^{2} - 2) - 4 (x^{2} - 2) = 0$

단계 1.2

최대공약수 $x^{2} - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0$

단계 1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4) = 0$

단계 1.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 1.5

인수분해합니다.

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단계 1.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (x^{2} - 2)) = 0$

단계 1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) (x^{2} - 2) = 0$

단계 1.6

지수를 묶습니다.

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단계 1.6.1

$x^{2} - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

단계 1.6.2

$x^{2} - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

단계 1.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 2) = 0$

단계 1.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

단계 3

${(x^{2} - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

${(x^{2} - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

단계 3.2

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 3.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 3.2.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 3.2.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.2.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 3.2.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 3.2.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 4

$x^{2} + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x^{2} + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 = 0$

단계 4.2

$x^{2} + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 2$

단계 4.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

단계 4.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

단계 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

단계 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{2}$

단계 4.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{2}$

단계 4.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{2}$

단계 4.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

단계 5

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$