대수 예제

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

단계 1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = y$ 입니다.

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + y}{x - y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + y}{x + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x + y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - y}{x - y}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - y) (x + y)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{x + y}{x - y}$ 에 $\frac{x + y}{x + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 4.2

$\frac{1}{x + y}$ 에 $\frac{x - y}{x - y}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 4.3

$(x - y) (x + y)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + y) (x + y)$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x + y) + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x y + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.2.1.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x y + y x + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.2.2

$x y$ 를 $y x$ 에 더합니다.

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단계 6.2.2.1

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + x y + x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.2.2.2

$x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 7

$x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y + 0 - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 7.2

$2 x y + y^{2} + x - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

단계 7.3

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x y + x - y + 0}{(x + y) (x - y)}$

단계 7.4

$2 x y + x - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x y + x - y}{(x + y) (x - y)}$