대수 예제

$\frac{2}{x^{2} - 9} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

단계 1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 3, - 2$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{(x + 3) (x - 3)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 3) (x - 3) (x - 2)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4.2

$\frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x - 3) (x - 2) (x + 3)}$

단계 4.3

$(x + 3) (x - 3) (x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x - 3) (x - 2) (x + 3)}$

단계 4.4

$(x - 3) (x - 2) (x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (x - 2) - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 4 - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x - 4 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x - 4 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 4 - 3 x^{2} - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.5

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 4 - 3 x^{2} - 9 x}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.6

$2 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 7 x - 4 - 3 x^{2}}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 7 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.8

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 6.8.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 3 \cdot - 4 = 12$ 이고 합이 $b = - 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 6.8.1.1

$- 7 x$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 7 (x) - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.8.1.2

$- 7$ 를 $- 3$ + $- 4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- 3 x^{2} + (- 3 - 4) x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 x - 4 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 6.8.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- 3 x^{2} - 3 x) - 4 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.8.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{3 x (- x - 1) + 4 (- x - 1)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 6.8.3

최대공약수 $- x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) - 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7.3

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7.4

식을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

단계 7.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$