대수 예제

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} - 4}$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x + 2, 2 - x, (x + 2) (x - 2)$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$x + 2$ 의 인수는 $x + 2$ 자신입니다.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$2 - x$ 의 인수는 $2 - x$ 자신입니다.

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$x + 2$ 의 인수는 $x + 2$ 자신입니다.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$x - 2$ 의 인수는 $x - 2$ 자신입니다.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.9

$x + 2, 2 - x, x + 2, x - 2$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x + 2) (2 - x) (x - 2)$

단계 3

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$ 의 각 항에 $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$ 의 각 항에 $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x + 2} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x}{x + 2} ((x + 2) ((2 - x) (x - 2))) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x + 2} ((x + 2) ((2 - x) (x - 2))) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x ((2 - x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.2

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x ((- 1 (- 2) - x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x ((- 1 (- 2) - (x)) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.4

$- 1 (- 2) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x (- 1 (- 2 + x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.5

항을 다시 정렬합니다.

$x (- 1 (x - 2) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.6

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$x (- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.7

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$x (- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x (- 1 {(x - 2)}^{2}) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.11

$2 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.11.1

$- \frac{2}{2 - x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} + \frac{- 2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.11.2

$(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ 에서 $2 - x$ 를 인수분해합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} + \frac{- 2}{2 - x} ((2 - x) ((x + 2) (x - 2))) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.11.3

공약수로 약분합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} + \frac{- 2}{2 - x} ((2 - x) ((x + 2) (x - 2))) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.11.4

수식을 다시 씁니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.12

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.13

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.13.1

인수가 항 $x \cdot - 2$ 과(와) $2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.13.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.13.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.14

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.14.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.14.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x^{2} - 4) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.15

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.2.1.16

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(x + 2) (x - 2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (2 - x))$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (2 - x))$

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = (3 x + 2) (2 - x)$

단계 3.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x + 2) (2 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 3 x (2 - x) + 2 (2 - x)$

단계 3.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 2 (2 - x)$

단계 3.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

단계 3.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 x (- x) + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

단계 3.3.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 \cdot - 1 x \cdot x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

단계 3.3.3.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

단계 3.3.3.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

단계 3.3.3.1.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x - 3 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

단계 3.3.3.1.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x - 3 x^{2} + 4 + 2 (- x)$

단계 3.3.3.1.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x - 3 x^{2} + 4 - 2 x$

단계 3.3.3.2

$6 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 4 x - 3 x^{2} + 4$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

방정식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 - 4 x = - 3 x^{2} + 4$

단계 4.1.2

방정식의 양변에 $3 x^{2}$ 를 더합니다.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$- x ((x - 2) (x - 2)) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.3.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- x (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- x \cdot x^{2} - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- (x^{2} x) - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.5.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- x^{2 + 1} - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.5.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- x^{3} - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 x \cdot x - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.5.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.3.6.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.4

$4 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

단계 4.1.5

$2 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$- x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 8 - 4 x = 4$

단계 4.1.6

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 8 = 4$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 8 - 4 = 0$

단계 4.3

$8$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 4.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

유리근 정리르 이용하여 $- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 4.4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 4.4.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.4.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

단계 4.4.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

단계 4.4.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

단계 4.4.1.3.4

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 4$

단계 4.4.1.3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 5 - 8 \cdot 1 + 4$

단계 4.4.1.3.6

$- 1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$4 - 8 \cdot 1 + 4$

단계 4.4.1.3.7

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 8 + 4$

단계 4.4.1.3.8

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 4 + 4$

단계 4.4.1.3.9

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.4.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 1}$

단계 4.4.1.5

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 4.4.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$4$

단계 4.4.1.5.2

피제수 $- x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$

단계 4.4.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 4.4.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 4.4.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

단계 4.4.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

단계 4.4.1.5.7

피제수 $4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

단계 4.4.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

단계 4.4.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x^{2} - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

단계 4.4.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$

단계 4.4.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$

단계 4.4.1.5.12

피제수 $- 4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$

단계 4.4.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

단계 4.4.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x + 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 4.4.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$
										$0$

단계 4.4.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} + 4 x - 4$

단계 4.4.1.6

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 1) (- x^{2} + 4 x - 4) = 0$

단계 4.4.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.4.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.4.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.4.2.1.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) (- x^{2} + 4 (x) - 4) = 0$

단계 4.4.2.1.1.2

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$(x - 1) (- x^{2} + (2 + 2) x - 4) = 0$

단계 4.4.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4) = 0$

단계 4.4.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.4.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4) = 0$

단계 4.4.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) (x (- x + 2) - 2 (- x + 2)) = 0$

단계 4.4.2.1.3

최대공약수 $- x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) ((- x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 4.4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (- x + 2) (x - 2) = 0$

단계 4.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 4.7

$- x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.7.1

$- x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 2 = 0$

단계 4.7.2

$- x + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.7.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 4.7.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 4.7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.7.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 4.7.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 4.7.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.7.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 4.8

$(x - 1) (- x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, 2$

단계 5

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} - 4}$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 1$