대수 예제

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

단계 1

부등식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

단계 2

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.2

$- x$ 와 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.4

$4 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.6

인수분해된 형태로 $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.4.6.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.4.6.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.6.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.4.6.2

최대공약수 $- x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.6

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.7

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.8

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 6

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 8

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 9

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 10

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 11

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 11.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 11.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 12

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

단계 13

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 14

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

단계 15

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 15.1

$x < - \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 15.1.1

$x < - \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 15.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

단계 15.1.3

좌변 $- 0.17647058$ 이 우변 $- 4$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.2

$- \sqrt{3} < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 15.2.1

$- \sqrt{3} < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 15.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

단계 15.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 15.3

$1 < x < \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 15.3.1

$1 < x < \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.37$

단계 15.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.37$ 로 치환합니다.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

단계 15.3.3

좌변 $1.51444262$ 이 우변 $1.37$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.4

$x > \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 15.4.1

$x > \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 15.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

단계 15.4.3

좌변 $1.70588235$ 이 우변 $4$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 15.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \sqrt{3}$ 거짓

$- \sqrt{3} < x < 1$ 참

$1 < x < \sqrt{3}$ 거짓

$x > \sqrt{3}$ 참

$x < - \sqrt{3}$ 거짓

$- \sqrt{3} < x < 1$ 참

$1 < x < \sqrt{3}$ 거짓

$x > \sqrt{3}$ 참

단계 16

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \sqrt{3} < x < 1$ 또는 $x > \sqrt{3}$

단계 17

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

구간 표기:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

단계 18