대수 예제

$\frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 3} > 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} + 10 x + 16 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 10 x + 16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $16$ 이고 합은 $10$ 입니다.

$2, 8$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 2) (x + 8) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

단계 4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 6

$(x + 2) (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, - 8$

단계 7

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 2, - 8$

$x = 3$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = - 2, - 8, 3$

단계 10

$\frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 3}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 3}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 3 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 12.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.1.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 (- 10) + 16}{(- 10) - 3} > 0$

단계 12.1.3

좌변 $- 1.\overline{230769}$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.2

$- 8 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.2.1

$- 8 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 16}{(- 5) - 3} > 0$

단계 12.2.3

좌변 $1.125$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.3

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.3.1

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} + 10 (0) + 16}{(0) - 3} > 0$

단계 12.3.3

좌변 $- 5.\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} + 10 (6) + 16}{(6) - 3} > 0$

단계 12.4.3

좌변 $37.\overline{3}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 8 < x < - 2$ 또는 $x > 3$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 8 < x < - 2 or x > 3$

구간 표기:

$(- 8, - 2) \cup (3, \infty)$

단계 15