대수 예제

$4 x^{2} - 4 a^{2} x + (a^{4} - b^{4}) = 0$

단계 1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2

이차함수의 근의 공식에 $a = 4$ , $b = - 4 a^{2}$ , $c = a^{4} - b^{4}$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4 a^{2})}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (a^{4} - b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

괄호를 표시합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4 a^{2})}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (a^{4} - b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.2

$u = 4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

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단계 3.1.2.1

$- 4 a^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} {(a^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.2.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 {(a^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.2.3

${(a^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{4} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.3

$16 a^{4} - 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.3.1

$16 a^{4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.3.2

$- 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.3.3

$4 (4 a^{4}) + 4 (- u)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - u)}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.4

$u$ 를 모두 $4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 \cdot (a^{4} - b^{4})))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5

간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4} + 4 (- b^{4})))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4} - 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4}) - (- 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5.1.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - 4 a^{4} - (- 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5.1.5

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - 4 a^{4} + 4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5.2

$4 a^{4}$ 에서 $4 a^{4}$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (0 + 4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.5.3

$0$ 를 $4 b^{4}$ 에 더합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.6

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 b^{4}}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.7

$16 b^{4}$ 을 ${(4 b^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(4 b^{2})}^{2}}}{2 \cdot 4}$

단계 3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{2 \cdot 4}$

단계 3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{8}$

단계 3.3

$\frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{a^{2} \pm b^{2}}{2}$

단계 4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$x = \frac{(a + b) (a - b)}{2}$