대수 예제

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

단계 2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

단계 2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

단계 2.3

다항식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

단계 2.4

$a = x$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

단계 3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.1

항을 다시 정렬합니다.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

단계 3.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ 이고 합이 $b = - 18$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.2.1

$- 18 y$ 에서 $- 18$ 를 인수분해합니다.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

단계 3.2.2

$- 18$ 를 $- 9$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

단계 3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

단계 3.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

단계 3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

단계 3.4

최대공약수 $- y - 9$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

단계 4

$(y + 9) (y + 9)$ 을 ${(y + 9)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

단계 5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x - 5$ 이고 $b = y + 9$ 입니다.

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 5$ 를 $9$ 에 더합니다.

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

단계 6.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

단계 6.4

$- 5$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$(x + y + 4) (x - y - 14)$