대수 예제

$x + 1 < \frac{5 x - 3}{x - 3}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{5 x - 3}{x - 3}$ 를 뺍니다.

$x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3} < 0$

단계 2

$x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 3)}{x - 3} - \frac{5 x - 3}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (x - 3) - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - (5 x) - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3.6

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.3.7

$- 3 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

단계 2.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3} < 0$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 + x - 3}{x - 3} < 0$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 8 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 - 3}{x - 3} < 0$

단계 2.6.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 7 x + 0}{x - 3} < 0$

단계 2.6.3

$x^{2} - 7 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 7 x}{x - 3} < 0$

단계 2.6.4

$x^{2} - 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.6.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x - 7 x}{x - 3} < 0$

단계 2.6.4.2

$- 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 7}{x - 3} < 0$

단계 2.6.4.3

$x \cdot x + x \cdot - 7$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 7)}{x - 3} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 5

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 7$

$x = 3$

단계 7

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 7, 3$

단계 8

$\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 3 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 8.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 7$

$x > 7$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 10.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$(- 2) + 1 < \frac{5 (- 2) - 3}{(- 2) - 3}$

단계 10.1.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $2.6$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.2

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.2.1

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$(2) + 1 < \frac{5 (2) - 3}{(2) - 3}$

단계 10.2.3

좌변 $3$ 이 우변 $- 7$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.3

$3 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.3.1

$3 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$(5) + 1 < \frac{5 (5) - 3}{(5) - 3}$

단계 10.3.3

좌변 $6$ 이 우변 $11$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.4

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.4.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$(10) + 1 < \frac{5 (10) - 3}{(10) - 3}$

단계 10.4.3

좌변 $11$ 이 우변 $6.\overline{714285}$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 거짓

$3 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

$x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 거짓

$3 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < 0$ 또는 $3 < x < 7$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < 0 or 3 < x < 7$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (3, 7)$

단계 13