대수 예제

$x^{8} - 25 x^{4} + 144 = 0$

단계 1

$x^{8}$ 을 ${(x^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{4})}^{2} - 25 x^{4} + 144 = 0$

단계 2

$u = x^{4}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{4}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

단계 3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 25 u + 144$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $144$ 이고 합은 $- 25$ 입니다.

$- 16, - 9$

단계 3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

단계 4

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$(x^{4} - 16) (x^{4} - 9) = 0$

단계 5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$({(x^{2})}^{2} - 16) (x^{4} - 9) = 0$

단계 6

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

단계 7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) (x^{4} - 9) = 0$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

단계 8.2

인수분해합니다.

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단계 8.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) (x^{4} - 9) = 0$

단계 8.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{4} - 9) = 0$

단계 9

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 9) = 0$

단계 10

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) = 0$

단계 11

인수분해합니다.

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단계 11.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3)) = 0$

단계 11.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$