대수 예제

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

단계 2.1.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

단계 2.1.3

$8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

단계 2.1.4

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

단계 2.1.5

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

단계 2.2.1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

단계 2.2.1.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

단계 2.2.1.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

단계 2.2.1.3.4

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 16 + 8$

단계 2.2.1.3.5

$8$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- 8 + 8$

단계 2.2.1.3.6

$- 8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.2.1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

단계 2.2.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

단계 2.2.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

단계 2.2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 2.2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 2.2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

단계 2.2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

단계 2.2.1.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

단계 2.2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

단계 2.2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} + 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

단계 2.2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

단계 2.2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

단계 2.2.1.5.12

피제수 $- 4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

단계 2.2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

단계 2.2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x + 8$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

단계 2.2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

단계 2.2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 2 x - 4$

단계 2.2.1.6

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

단계 2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

단계 4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 6

$x^{2} - 2 x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2} - 2 x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

단계 6.2

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 4$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.1.3

$4$ 를 $16$ 에 더합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.1.4

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.4.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

단계 6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

단계 6.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.1.3

$4$ 를 $16$ 에 더합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.1.4

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1.4.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

단계 6.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

단계 6.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 1 + \sqrt{5}$

단계 6.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.1.3

$4$ 를 $16$ 에 더합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.1.4

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1.4.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

단계 6.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

단계 6.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 1 - \sqrt{5}$

단계 6.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

단계 7

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x < 1 - \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < 1 - \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

단계 9.1.3

좌변 $480$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.2

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

단계 9.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.3

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

단계 9.3.3

좌변 $5$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.4

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

단계 9.4.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.5

$x > 1 + \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

$x > 1 + \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 9.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

단계 9.5.3

좌변 $480$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 1 - \sqrt{5}$ 참

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ 거짓

$x > 1 + \sqrt{5}$ 참

$x < 1 - \sqrt{5}$ 참

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ 거짓

$x > 1 + \sqrt{5}$ 참

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ 또는 $0 \leq x \leq 2$ 또는 $x \geq 1 + \sqrt{5}$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

단계 12