대수 예제

$x^{5} = 18 x^{3} - 81 x$

단계 1

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$18 x^{3} - 81 x = x^{5}$

단계 2

방정식의 양변에서 $x^{5}$ 를 뺍니다.

$18 x^{3} - 81 x - x^{5} = 0$

단계 3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 3.1

$18 x^{3} - 81 x - x^{5}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

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단계 3.1.1.1

$- 81 x$ 를 옮깁니다.

$18 x^{3} - x^{5} - 81 x = 0$

단계 3.1.1.2

$18 x^{3}$ 와 $- x^{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{5} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

단계 3.1.2

$- x^{5}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x^{4} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

단계 3.1.3

$18 x^{3}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - 81 x = 0$

단계 3.1.4

$- 81 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

단계 3.1.5

$- x (x^{4}) - x (- 18 x^{2})$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

단계 3.1.6

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x (81)$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

단계 3.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

단계 3.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- x (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

단계 3.4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.4.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

단계 3.4.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

단계 3.4.3

다항식을 다시 씁니다.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

단계 3.4.4

$a = u$ 이고 $b = 9$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- x {(u - 9)}^{2} = 0$

단계 3.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- x {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

단계 3.6

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

단계 3.7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$- x {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

단계 3.8

인수분해합니다.

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단계 3.8.1

$(x + 3) (x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- x ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

단계 3.8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 5

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 6.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 6.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 7

${(x - 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.1

${(x - 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 7.2

${(x - 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.2.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 7.2.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 8

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 3, 3$